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Monday, July 28, 2008 - ore 21:56
Di al tuo amico che abbiamo sbagliato entrambi 
(categoria: " Vita Quotidiana ")
Un numero si dice perfetto quando è uguale alla somma di tutti i suoi divisori escluso sé stesso.
Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14): lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se 2n+1 - 1 è un numero primo, allora 2n · (2n+1 - 1) è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma.
Esempio: 6 = 21 · (22 - 1)
Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:
un numero triangolare, visto che si può scrivere
un numero esagonale, visto che si può scrivere
I primi 10 numeri perfetti sono:
6
28
496
8128
33550336 (8 cifre)
8589869056 (10 cifre)
137438691328 (12 cifre)
2305843008139952128 (19 cifre)
2658455991569831744654692615953842176 (37 cifre)
191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (54 cifre)
L’undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 279 cifre.
Non si sa se i numeri perfetti continuino all’infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.
Infatti da 2n · (2n+1 - 1) si ha che:
2n è pari e termina 2, 4, 8, 6;
(2n+1 - 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.
Il valore ’5’ va scartato in quanto cadrebbe l’ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto
Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.
Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un’unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.
Più in generale, i numeri lievemente difettivi sono uguali a:
2n · 2n+1
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